Основная тема данной книги - анализ на гладких многообразиях. Изложение начинается с основных фактов, относящихся к внешним формам на линейном пространстве, гладким и топологическим многообразиям. Далее определяются и исследуются основные дифференциальные операции, не зависящие от системы локальных координат: внешнее дифференцирование дифференциальных форм, коммутатор векторных полей, производная Ли, а также интегрирование дифференциальных форм. Изучается связь группы Ли и ее алгебры. Затем вводятся понятия связности векторного расслоения, ковариантной производной, кривизны связности и обсуждаются их свойства. Существенное внимание уделено приложениям групп Ли к гамильтоновой механике. Изложение сопровождается примерами и задачами разного уровня сложности. В конце книги приведены решения большинства задач.
Osnovnaja tema dannoj knigi - analiz na gladkikh mnogoobrazijakh. Izlozhenie nachinaetsja s osnovnykh faktov, otnosjaschikhsja k vneshnim formam na linejnom prostranstve, gladkim i topologicheskim mnogoobrazijam. Dalee opredeljajutsja i issledujutsja osnovnye differentsialnye operatsii, ne zavisjaschie ot sistemy lokalnykh koordinat: vneshnee differentsirovanie differentsialnykh form, kommutator vektornykh polej, proizvodnaja Li, a takzhe integrirovanie differentsialnykh form. Izuchaetsja svjaz gruppy Li i ee algebry. Zatem vvodjatsja ponjatija svjaznosti vektornogo rassloenija, kovariantnoj proizvodnoj, krivizny svjaznosti i obsuzhdajutsja ikh svojstva. Suschestvennoe vnimanie udeleno prilozhenijam grupp Li k gamiltonovoj mekhanike. Izlozhenie soprovozhdaetsja primerami i zadachami raznogo urovnja slozhnosti. V kontse knigi privedeny reshenija bolshinstva zadach.
