Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9-11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач комбинаторной геометрии - гипотезе Борсука, которая утверждает, что в п-мерном пространстве всякое ограниченное множество можно разбить на п + 1 часть меньшего диаметра. Вначале подробно анализируются случаи малых размерностей и доказывается, что при п=1, 2, 3 гипотеза верна. Далее приводятся различные оценки сверху для числа Борсука в зависимости от размерности. Кроме того, рассматривается связь гипотезы с другими проблемами и задачами комбинаторной геометрии (проблема освещения, задача Грюнбаума, задача о хроматическом числе). В заключительных главах рассматриваются контрпримеры к гипотезе Борсука и история понижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, а также улучшения оценки снизу. Многие главы снабжены задачами. Некоторые из них - это упражнения, прорешав которые, читатель...
Broshjura napisana po materialam lektsii, prochitannoj avtorom 4 dekabrja 2004 goda na Malom mekhmate MGU dlja shkolnikov 9-11 klassov. V nej rasskazyvaetsja ob odnoj iz znamenitykh zadach kombinatornoj geometrii - gipoteze Borsuka, kotoraja utverzhdaet, chto v p-mernom prostranstve vsjakoe ogranichennoe mnozhestvo mozhno razbit na p + 1 chast menshego diametra. Vnachale podrobno analizirujutsja sluchai malykh razmernostej i dokazyvaetsja, chto pri p=1, 2, 3 gipoteza verna. Dalee privodjatsja razlichnye otsenki sverkhu dlja chisla Borsuka v zavisimosti ot razmernosti. Krome togo, rassmatrivaetsja svjaz gipotezy s drugimi problemami i zadachami kombinatornoj geometrii (problema osveschenija, zadacha Grjunbauma, zadacha o khromaticheskom chisle). V zakljuchitelnykh glavakh rassmatrivajutsja kontrprimery k gipoteze Borsuka i istorija ponizhenija minimalnoj razmernosti, v kotoroj stroitsja kontrprimer, a takzhe uluchshenija otsenki snizu. Mnogie glavy snabzheny zadachami. Nekotorye iz nikh - eto uprazhnenija, proreshav kotorye, chitatel...
